關(guān)于平行四邊形教案3篇
作為一名無(wú)私奉獻(xiàn)的老師，就難以避免地要準(zhǔn)備教案，教案是教學(xué)藍(lán)圖，可以有效提高教學(xué)效率。那么應(yīng)當(dāng)如何寫(xiě)教案呢？以下是小編為大家整理的平行四邊形教案3篇，希望能夠幫助到大家。
平行四邊形教案 篇1
【教學(xué)目標(biāo)】
1、知識(shí)與技能：
探索與應(yīng)用平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，理解平行線間的距離處處相等的結(jié)論，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單推理。
2、過(guò)程與方法：
經(jīng)歷探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力及有條理的表達(dá)能力。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：
在探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程中，感受幾何圖形中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)美。讓學(xué)生學(xué)會(huì)在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，享受運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
探索并掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分和平行線間的距離處處相等的性質(zhì)。
【教學(xué)難點(diǎn)】：
發(fā)展合情推理及邏輯推理能力
【教學(xué)方法】：
啟發(fā)誘導(dǎo)法，探索分析法
【教具準(zhǔn)備】：多媒體課件
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】
第一環(huán)節(jié)回顧思考，引入新課
什么叫平行四邊形?
平行四邊形都有哪些性質(zhì)?
利用平行四邊形的性質(zhì)，我們可以解決相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。阿凡提是傳說(shuō)中很聰明的人。一天，財(cái)主巴依遇到阿凡提，想考一考聰明的阿凡提，說(shuō)：給你兩塊地，一塊是平行四邊形形狀的(如下圖，AB=10，OA=3，BC=8)，還有一塊是邊長(zhǎng)是7的正方形EFGH土地，讓你來(lái)選一下，哪一塊面積更大?
[學(xué)生活動(dòng)]此時(shí)，學(xué)生的積極性被調(diào)動(dòng)起來(lái)，努力試圖尋找各種途徑來(lái)求平行四邊形的面積，但找不到合適的解決辦法.
[教學(xué)內(nèi)容]教師乘機(jī)引出課題，明確學(xué)習(xí)任務(wù).
第二環(huán)節(jié)探索發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用深化
1、做一做：(電腦顯示P100“做一做”的內(nèi)容)
如圖4-2，□ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，
(1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線段是相等的?
(2)能設(shè)法驗(yàn)證你的猜想嗎?
[教師活動(dòng)]教師將前后四名同學(xué)分成一組，學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的平行四邊形及實(shí)驗(yàn)工具(刻度尺、剪刀、圖釘)，嘗試在交流合作中動(dòng)手探究平行四邊形的對(duì)角線有何性質(zhì).
2、觀察、討論：(小組交流）
通過(guò)以上活動(dòng)，你能得到哪些結(jié)論?并由各小組派學(xué)生表述看法。
[教師活動(dòng)]探究結(jié)束后，分組展示結(jié)果，教師利用課件展示“旋轉(zhuǎn)法”的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性.
結(jié)論：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。
[教師活動(dòng)]“實(shí)驗(yàn)都是有誤差的，我們能否對(duì)此進(jìn)行理論證明?”
[學(xué)生活動(dòng)]此問(wèn)題難度不大.
[教師活動(dòng)]教師讓學(xué)生口述證明過(guò)程.最后師生共同歸納出“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”這條性質(zhì).
活動(dòng)二
剛才財(cái)主巴依提出的問(wèn)題你能解決嗎?
學(xué)生口述過(guò)程，教師最后給出規(guī)范的解題過(guò)程。
練一練：
財(cái)主不服氣，又想考阿凡提，說(shuō)過(guò)點(diǎn)O做一直線EF，交邊AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.直線EF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中(點(diǎn)E與A、D不重合)，你能知道這里有多少對(duì)全等三角形嗎?
[教師活動(dòng)]此處組織學(xué)生搶答，互相補(bǔ)充完善后，學(xué)生答出了全部的全等三角形.
活動(dòng)三
電腦顯示P101關(guān)于鐵軌的圖片
提出問(wèn)題：“想一想”
已知，直線a//b，過(guò)直線a上任兩點(diǎn)A，B分別向直線b作垂線，交直線b于點(diǎn)C，點(diǎn)D，如圖，
(1)線段AC，BD所在直線有什么樣的位置關(guān)系?
(2)比較線段AC，BD的長(zhǎng)。
引出平行線間距離的概念，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)間距離等概念。
(讓學(xué)生進(jìn)一步感知生活中處處有數(shù)學(xué))
A.(學(xué)生思考、交流)
B.(師生歸納)
解(1)由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。
(2)a//b，AC//BD，→四邊形ACDB是平行四邊形
→AC=BD
歸納：
若兩條直線平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的'距離相等，這個(gè)距離稱(chēng)為平行線間的距離。
即平行線間的距離相等。
[議一議]：
舉你能舉出反映“平行線之間的垂直段處處相等實(shí)例嗎”?
活動(dòng)目的：
通過(guò)生活中的實(shí)例的應(yīng)用，深化對(duì)知識(shí)的理解。
第三環(huán)節(jié)鞏固反饋，總結(jié)提高
1、說(shuō)一說(shuō)下列說(shuō)法正確嗎
�、倨叫兴倪呅问禽S對(duì)稱(chēng)圖形()
�、谄叫兴倪呅蔚倪呄嗟�()
�、燮叫芯�間的線段相等()
④平行四邊形的對(duì)角線互相平分()
2、已知,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是28，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且△OBC的周長(zhǎng)比△OBA的周長(zhǎng)大4，則AB=
3、已知P為平行四邊形ABCD的邊CD上的任意點(diǎn)，則△APB與平行四邊形ABCD的面積比為
4、平行四邊形ABCD中，AC，DB交于點(diǎn)O，AC=10。DB=12，則AB的取值范圍是什么?
5、平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，OA，OB，AB的長(zhǎng)度分別為3cm、4cm、5cm，求其它各邊以及兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度。
第四環(huán)節(jié)評(píng)價(jià)反思，目標(biāo)回顧
活動(dòng)內(nèi)容：
本節(jié)課你有哪些收獲?你能將平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行歸納嗎?
[布置作業(yè)]：
P102習(xí)題4.21，2，3
探究題已知如下圖，在ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且BE∥DF.求證：BE=DF
平行四邊形教案 篇2
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
１、經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過(guò)程，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達(dá)能力。
2、 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
�。ㄒ唬┳詫W(xué)導(dǎo)航
1、創(chuàng)設(shè)情境
某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長(zhǎng)m米、寬a米的長(zhǎng)方形林區(qū)的長(zhǎng)、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。
這塊林區(qū)現(xiàn)在的長(zhǎng)為 米，寬為 米。因而面積為_(kāi)_______米2。
還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。
由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =
如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？
2、概括：
多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則：
3、計(jì)算
�。�1） （2）
4、練一練
（1）
�。ǘ┖献鞴リP(guān)
1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)備臺(tái)，要求四面的過(guò)道寬都為x米，已知廚房的長(zhǎng)寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過(guò)道的總面積。
2、解方程
�。ㄈ┻_(dá)標(biāo)訓(xùn)練
1、填空題：
�。�1） = =
（2） = 。
2、計(jì)算
�。�1） （2）
（3） (4)
�。ㄋ模┨嵘�
1、怎樣進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算？
2、若 的乘積中不含 和 項(xiàng)，則a= b=
應(yīng)用題
第三十五講 應(yīng)用題
在本講中將介紹各類(lèi)應(yīng)用題的解法與技巧．
當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問(wèn)題，成為各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)熱點(diǎn)．
應(yīng)用性問(wèn)題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì)，使學(xué)生充分到數(shù)學(xué)與自然和人類(lèi)社會(huì)的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心．
解答應(yīng)用性問(wèn)題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下：
在初中范圍內(nèi)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．
例題求解
一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題
數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，由于它能夠有效、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法．
【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對(duì)5個(gè)旅游景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
景點(diǎn)ABCDE
原價(jià)（元）1010152025
現(xiàn)價(jià)（元）55152530
平均日人數(shù)（千人）11232
�。�1）該風(fēng)景區(qū)稱(chēng)調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門(mén)票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平。問(wèn)風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？
�。�2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對(duì)于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問(wèn)游客是 怎樣計(jì)算的？
�。�3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際？
思路點(diǎn)撥 （1）風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的：
調(diào)整前的平均價(jià)格： ，設(shè)整后的平均價(jià)格：
∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數(shù)不變．
∴平均日總收入持平．
�。� 2）游客是這樣計(jì)算的：
原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日總收入增加了
�。�3）游客的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際．
二、用方程模型解應(yīng)用題
研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生恬中有關(guān)問(wèn)題常常要用到方程<組)的知識(shí)，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)實(shí)世界．
【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小相同，兩道側(cè)門(mén)大小也相同．安全檢查中，對(duì)4道門(mén)進(jìn)行了測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側(cè)門(mén)時(shí)，2min內(nèi)可以通過(guò)560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)時(shí)，4mln內(nèi)可以通過(guò)800名學(xué)生．
(1)求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門(mén)的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過(guò)這4道門(mén)安全撤離．假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門(mén)整否符合安全規(guī)定?請(qǐng)說(shuō)明理由．
思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測(cè)試中通過(guò)的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問(wèn)什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過(guò)量不小于學(xué)生總數(shù)．
(1)設(shè)平均每分鐘一道正門(mén)可以通過(guò)x名學(xué)生，一道側(cè)門(mén)可以通過(guò)y名學(xué)生，由題意得：
,解得：
(2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)．
擁擠時(shí)5min4道門(mén)能通過(guò)．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道門(mén)符合安全規(guī)定．
三、用不等式模型解應(yīng)用題
現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問(wèn)題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對(duì)所研究的問(wèn)題有比較清楚的認(rèn)識(shí)．
【例3】 (蘇州中考題)我國(guó)東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地?cái)M建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)，決定選用A、B兩種型號(hào)的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，根據(jù)產(chǎn)品說(shuō)明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：
日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6
日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150
B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
(1)若這個(gè)發(fā)電場(chǎng)購(gòu)x臺(tái)A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)，則預(yù)計(jì)這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)；
(2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺(tái)O.3萬(wàn)元，B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺(tái)O.2萬(wàn)元．該發(fā)電場(chǎng)擬購(gòu)置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺(tái)，希望購(gòu)機(jī)的費(fèi)用不超過(guò)2.6萬(wàn)元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請(qǐng)你提供符合條件的購(gòu)機(jī)方案．
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：
思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；
(2)設(shè)購(gòu)A型發(fā)電機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺(tái),
解法一根據(jù)題意得：
解得5≤x ≤6．
故可購(gòu)A型發(fā)電機(jī)5臺(tái)，B型發(fā)電機(jī)5臺(tái)；或購(gòu)A型發(fā)電機(jī)6臺(tái)，B型發(fā)電視4臺(tái)．
四、用函數(shù)知識(shí)解決的應(yīng)用題
函數(shù)類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題主要有以下兩種類(lèi)型：(1)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．
【例4】 (揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤(rùn)楊”報(bào)刊零售點(diǎn)．對(duì)經(jīng)營(yíng)的某種晚報(bào)，楊嫂提供丁如下信息：
�、儋I(mǎi)進(jìn)每份0.20元，賣(mài)出每份0.30元；
②一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，有20天每天可以賣(mài)出200份，其余10天每天只能賣(mài)出120份；
③一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣(mài)不掉的報(bào)紙，以每份0.10元退回給報(bào)社；
(1)填表：
一個(gè)月內(nèi)每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150
當(dāng)月利潤(rùn)(單位：元)
(2)設(shè)每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)該種晚報(bào)x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤(rùn)為y元，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤(rùn)的最大值．
思路點(diǎn)撥(1)填表：
一個(gè)月內(nèi)每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150
當(dāng)月利潤(rùn)(單位：元)300390
(2)由題意可知，一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤(rùn)：
20×=2x(元)；其余10天可獲利潤(rùn)：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)， 當(dāng)x=200時(shí)，月利潤(rùn)y的最大值為440元．
注 根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．
另外，初三還會(huì)提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．
【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成．
（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)．
(2)如果請(qǐng)甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用200 0元；如果請(qǐng)乙工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元．在規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A．請(qǐng)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；B．請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工 程； C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程．以上方案哪一種花錢(qián)最少?
思路點(diǎn)撥 這是一道策略?xún)?yōu)選問(wèn)題．工程問(wèn)題中：工作量=工作效率×工時(shí)．
(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，根據(jù)題意得：
, x=30合題意，
所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天，乙隊(duì)需30天．
(2)各種方案所需的費(fèi)用分別為：
A．請(qǐng)甲隊(duì)需20xx×20=40000元；
B．請(qǐng)乙隊(duì)需1400×30=4200元；
C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作需(20xx+1400)×12=40800元．
所隊(duì)單獨(dú)請(qǐng)甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢(qián)最少．
【例6】 (2全國(guó)聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問(wèn)：科學(xué)考察隊(duì)的生態(tài)區(qū)考察了多少天?
思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!
設(shè)考察隊(duì)到 生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①
這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè) 法求出①的'一組合題意的解，然后計(jì)算出z的值．
為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負(fù)整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．
25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．
與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．
下面再求出①的合題意的解．
由不定方程的知識(shí)可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，
∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天． 注 本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來(lái)解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法． 【例7】 (江蘇省第17屆初中競(jìng)賽題)華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下： (1)若一次購(gòu)物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購(gòu)物滿(mǎn)200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購(gòu)物超過(guò)500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折 優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu) 買(mǎi)小明分兩次購(gòu)買(mǎi)的同樣多的物品，他需付款多少? 思路點(diǎn)撥 應(yīng)付198元購(gòu)物款討論： 第一次付款198元，可是所購(gòu)物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論． 情形1 當(dāng)198元為購(gòu)物不打折付的錢(qián)時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為198元 ． 又554=450+104，其中450元為購(gòu)物500元打九折付的錢(qián)，104元為購(gòu)物打八折付的錢(qián)；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所購(gòu)物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購(gòu)買(mǎi)小呀花198 +630=828(元)所購(gòu)的全部物品，小亮一次性購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 當(dāng)198元為購(gòu)物打九折付的錢(qián)時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購(gòu)220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 綜上所述，小亮一次去超市購(gòu)買(mǎi)小明已購(gòu)的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元 【例8】 (20xx年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少? 思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問(wèn)題是甲、乙、丙單獨(dú)做各需的天數(shù)及獨(dú)做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮： 設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成． 則 ，解得 再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元， 則 ，解得 于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4=182000 (元)． 由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6= 177000 (元)． 而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少． 學(xué)歷訓(xùn)練 �。ˋ級(jí)） 1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴(kuò)散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過(guò)氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來(lái)多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液? 2．(山東省競(jìng)賽題)某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，對(duì)自來(lái)水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶(hù)用水中不超過(guò)10t部分按0.45元／噸收費(fèi)；超過(guò)10t而不超過(guò)20t部分按每噸0.8元收費(fèi)；超過(guò)20t部分按每噸1.50元收費(fèi)，某月甲戶(hù)比乙戶(hù)多繳水費(fèi)7.10元，乙戶(hù)比丙戶(hù)多繳水費(fèi)3.75元，問(wèn)甲、乙、丙該月各繳水費(fèi)多少?(自來(lái)水按整噸收費(fèi)) 3．(江蘇省競(jìng)賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問(wèn)：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題? 4．某人從A地到B地乘坐出租車(chē)有兩種方案，一種出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問(wèn)選擇哪一種出租車(chē)比較合適? (提示：根據(jù)目前出租車(chē)管理?xiàng)l例，車(chē)型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少) （B級(jí)） 1．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水，40min可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺(tái)． 2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià)：800元／臺(tái)．甲商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)： 購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)1~5臺(tái)6~10臺(tái)11~15臺(tái)16~20臺(tái)20臺(tái)以上 每臺(tái)價(jià)格760元720元680元640元600元 乙商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)：每次購(gòu)買(mǎi)1~8臺(tái)，每臺(tái)打九折；每次購(gòu)買(mǎi)9~16臺(tái)，每臺(tái)打八五折； 每次購(gòu)買(mǎi)17~24臺(tái)，每臺(tái)打八折；每次購(gòu)買(mǎi)24臺(tái)以上，每臺(tái)打七五折． （1）請(qǐng)仿照甲商場(chǎng)的促銷(xiāo)列表，列出到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)VCD的購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)與每臺(tái)價(jià)格的對(duì)照表； (2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買(mǎi)10臺(tái)VCD，B單位要買(mǎi)16臺(tái)VCD，C單位要買(mǎi)20臺(tái)VCD，問(wèn)他們到哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少? 3．(河北創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題)某錢(qián)幣收藏愛(ài)好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請(qǐng)你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案． 4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級(jí))．問(wèn)： (1)扶梯露在外面的部分有多少級(jí)? (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級(jí)數(shù)和扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級(jí)臺(tái)階? 5．某化肥廠庫(kù)存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問(wèn)在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍． 6．(黃岡競(jìng)賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場(chǎng)，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場(chǎng)．問(wèn)建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a 多邊形的邊角與對(duì)角線 j.Co M 第十四講 多邊形的邊角與對(duì)角線 邊、角、對(duì)角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對(duì)角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問(wèn)題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識(shí)． 多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個(gè)常數(shù)，把內(nèi)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角問(wèn)題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問(wèn)題的常用技巧． 將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)處理是解多邊形問(wèn)題的基本策略，連對(duì)角線或向外補(bǔ)形、對(duì)內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對(duì)角線． 例題求解 【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ． (江蘇省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0° 鏈接 世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過(guò)程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形． 【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個(gè)數(shù)的探討． 【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開(kāi)成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫(huà)出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角)，并分別寫(xiě)出所拼四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)． (烏魯木齊市中考題) 思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結(jié)合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對(duì)角線有不同情形． 注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門(mén)的一個(gè)話題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，“數(shù)學(xué)建�！本褪峭ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)化(引元、畫(huà)圖等)把實(shí)際問(wèn)題特化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)方法(模型)解決問(wèn)題． 本例通過(guò)設(shè)元，把“沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過(guò)不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形． (1)請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫(xiě)表中空格： (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形? (3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請(qǐng)畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說(shuō)明你的理由． (陜西省中考題) 思路點(diǎn)撥 本例主要研究?jī)蓚�(gè)問(wèn)題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開(kāi)放性，又具有探索性．假定正n邊形滿(mǎn)足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內(nèi)角的和為360°，這樣，將問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解． 【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'． （1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說(shuō)明理由． (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長(zhǎng)比五邊形ABCD正的周長(zhǎng)至少增加25個(gè)單位． (江蘇省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿(mǎn)足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點(diǎn)分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長(zhǎng)等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長(zhǎng)逼近估算． 1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長(zhǎng)為16cm、寬為12cm的長(zhǎng)方形，再沿對(duì)角線把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來(lái)，其中周長(zhǎng)最大的是 ?，周長(zhǎng)最小的是 cm． (選6《莢國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》) 2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ． 4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案： (1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊； (2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊． (江西省中考題) 5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 6．一個(gè)凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是( ) A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條 7．有一個(gè)邊長(zhǎng)為4m的正六邊形客廳，用邊長(zhǎng)為50cm的正三角形瓷磚鋪滿(mǎn)，則需要這種瓷磚( ) A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 8．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD． �。�1）)畫(huà)出四邊形ABCD； (2)求出四邊形ABCD的對(duì)角線BD的長(zhǎng)． (上海市閔行區(qū)中考題) 9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)． (北京市競(jìng)賽題) 10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對(duì)邊A3A4的中點(diǎn)，連結(jié)A1B1，我們稱(chēng)A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對(duì)線，如果五邊形的每條中對(duì)線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對(duì)角線和它平行． (安徽省中考題) 11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重慶市競(jìng)賽題) 12．如圖，延長(zhǎng)凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長(zhǎng)凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ． ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 13．設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長(zhǎng)是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競(jìng)賽題) 15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(n一1)個(gè)內(nèi)角的和為2750°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長(zhǎng)為( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競(jìng)賽題) 注 按題中的方法'不斷地做下去，就會(huì)成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱(chēng)——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家)，這類(lèi)圖形稱(chēng)為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支． 17．如圖，設(shè)∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山東省競(jìng)賽題) 18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò)45°． 19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，求n． (上海市競(jìng)賽題) 20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(zhǎng)分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(zhǎng)． 21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面上的情況，如果折疊起來(lái)，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的，其折疊過(guò)程可由圖2的變換反映出來(lái)． 如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長(zhǎng)時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化? (淄博市中考題) 22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內(nèi)角的大小，并畫(huà)出這樣的 凸n邊形的草圖． 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科． 幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱(chēng)為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的合同變換． 如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換． 平移前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等． 如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角． 旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． 通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問(wèn)題的條件相對(duì)集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題的解決． 注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關(guān)系，而線段本身的大小要改變． 例題求解 【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ． 思路點(diǎn)撥 通過(guò)旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形． 【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變 思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可． 注 下列情形，常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換： (1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°； (2)圖形中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)全等三角形； (3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合． 【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對(duì)邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等． (全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換． 注 平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當(dāng)?shù)奈恢�，使分散的條件相對(duì)集中，促使問(wèn)題的解決． 【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過(guò)平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中． 注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識(shí)： (1)兩點(diǎn)間線段最短，垂線段最短； (2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； (3)同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角(大角對(duì)大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角． 【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長(zhǎng)． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿(mǎn)足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應(yīng)用，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ． 2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ． 3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長(zhǎng)為 ． 4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題) 5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè) (20xx年江蘇省蘇州市中考題) 6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長(zhǎng)為( ) A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題) 7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為 和 ，對(duì)角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距，當(dāng)中心O2在直線 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有變化． (1)計(jì)算：O1D= ，O2F= ； (2)當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ； (3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)． (徐州市中考題) 8．圖形的操做過(guò)程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(zhǎng)均為a，豎直 方向的邊長(zhǎng)均為b）： 在圖a中，將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）； 在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）； �。�1）在圖c中,請(qǐng)你類(lèi)似地畫(huà)一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫(huà)出陰影； （2）請(qǐng)你分別寫(xiě)出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ； �。�3）聯(lián)想與探索： 如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說(shuō)明你的猜想是正確的． (20xx年河北省中考題) 9．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM． 說(shuō)明及要求：本題是《幾何》第二冊(cè)幾15中第13題，現(xiàn)要求： (1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使A點(diǎn)落在CB上，請(qǐng)對(duì)照原題圖在圖中畫(huà)出符合要求的圖形(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)． (2)在①所得的圖形中，結(jié)論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)在①得到的圖形中，設(shè)MA的延長(zhǎng)線與BN相交于D點(diǎn)，請(qǐng)你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論． 10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2． 11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ． (紹興市中考題) 12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無(wú)法確定 13．如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達(dá)到的最大值為( ) A． B． C ．5 D．6 (20xx年武漢市選拔賽試題) 14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC． 15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC的長(zhǎng)為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設(shè)PA=m，n為大于5的實(shí)數(shù)，滿(mǎn) ，求△ABC的面積． 16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門(mén)，B為分校大門(mén)，為方便人員來(lái)往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來(lái)往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來(lái)往的路程是多少米? (“五羊杯”競(jìng)賽題) 17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ． (1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競(jìng)賽題) 18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值． (2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值a；當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度也為定值a． (3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板的圓心放在邊長(zhǎng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長(zhǎng)度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫(xiě)出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?/strong> 驗(yàn)證互成角度的兩個(gè)力合成時(shí)的平行四邊形定則。 【實(shí)驗(yàn)原理】 等效法：使一個(gè)力F的作用效果和兩個(gè)力F1、F2的作用效果都是讓同一條一端固定的橡皮條伸長(zhǎng)到某點(diǎn)，所以這一個(gè)力F就是兩個(gè)力F1和F2的合力，作出F的圖示，再根據(jù)平行四邊形定則作出F1和F2的合力F的圖示，比較F和F的大小和方向是否都相同。 【實(shí)驗(yàn)器材】 方木板一塊、白紙、彈簧測(cè)力計(jì)（兩只）、橡皮條、細(xì)繩套（兩個(gè)）、三角板、刻度尺、圖釘（幾個(gè)）、細(xì)芯鉛筆。 【實(shí)驗(yàn)步驟】 ⑴用圖釘把白紙釘在水平桌面上的方木板上，并用圖釘把橡皮條的一端固定在A點(diǎn)，橡皮條的另一端拴上兩個(gè)細(xì)繩套。 ⑵用兩只彈簧測(cè)力計(jì)分別鉤住細(xì)繩套，互成角度地拉像皮條，使橡皮條伸長(zhǎng)到某一位置O，如圖所示，記錄兩彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)，用鉛筆描下O點(diǎn)的位置及此時(shí)兩細(xì)繩套的方向。 �、侵挥靡恢粡椈蓽y(cè)力計(jì)通過(guò)細(xì)繩套把橡皮條的.結(jié)點(diǎn)拉到同樣的位置O，記下彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)和細(xì)繩套的方向。 �、扔勉U筆和刻度尺從結(jié)點(diǎn)O沿兩條細(xì)繩套方向畫(huà)直線，按選定的標(biāo)度作出這兩只彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)F1和F2的圖示，并以F1和F2為鄰邊用刻度尺作平行四邊形，過(guò)O點(diǎn)畫(huà)平行四邊形的對(duì)角線，此對(duì)角線即為合力F的圖示。 ⑸用刻度尺從O點(diǎn)按同樣的標(biāo)度沿記錄的方向作出只用一只彈簧測(cè)力計(jì)的拉力F的圖示。 �、时容^一下，力F與用平行四邊形定則求出的合力F的大小和方向是否相同。 錦囊妙訣：白紙釘在木板處，兩秤同拉有角度，讀數(shù)畫(huà)線選標(biāo)度，再用一秤拉同處，作出力的矢量圖。 交流與思考：每次實(shí)驗(yàn)都必須保證結(jié)點(diǎn)的位置保持不變，這體現(xiàn)了怎樣的物理思想方法？若兩次橡皮條的伸長(zhǎng)長(zhǎng)度相同，能否驗(yàn)證平行四邊形定則？ 提示：每次實(shí)驗(yàn)保證結(jié)點(diǎn)位置保持不變，是為了使合力的作用效果與兩個(gè)分力共同作用的效果相同，這是物理學(xué)中等效替換的思想方法。由于力不僅有大小，還有方向，若兩次橡皮條的伸長(zhǎng)長(zhǎng)度相同但結(jié)點(diǎn)位置不同，說(shuō)明兩次效果不同，不滿(mǎn)足合力與分力的關(guān)系，不能驗(yàn)證平行四邊形定則。 【誤差分析】 ⑴用兩個(gè)測(cè)力計(jì)拉橡皮條時(shí)，橡皮條、細(xì)繩和測(cè)力計(jì)不在同一個(gè)平面內(nèi)，這樣兩個(gè)測(cè)力計(jì)的水平分力的實(shí)際合力比由作圖法得到的合力小。 �、平Y(jié)點(diǎn)O的位置和兩個(gè)測(cè)力計(jì)的方向畫(huà)得不準(zhǔn)，造成作圖的誤差。 ⑶兩個(gè)分力的起始夾角太大，如大于120，再重做兩次實(shí)驗(yàn)，為保證結(jié)點(diǎn)O位置不變（即保證合力不變），則變化范圍不大，因而測(cè)力計(jì)示數(shù)變化不顯著，讀數(shù)誤差大。 �、茸鲌D比例不恰當(dāng)造成作圖誤差。 交流與思考：實(shí)驗(yàn)時(shí)由作圖法得到的合力F和單個(gè)測(cè)力計(jì)測(cè)量的實(shí)際合力F忘記標(biāo)注而造成錯(cuò)亂，你如何加以區(qū)分？ 提示：由彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量合力時(shí)必須使橡皮筋伸直，所以與AO共線的合力表示由單個(gè)測(cè)力計(jì)測(cè)量得到的實(shí)際合力F，不共線的合力表示由作圖法得到的合力F。 【注意事項(xiàng)】 �、挪灰苯右韵鹌l端點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，可拴一短細(xì)繩連兩細(xì)繩套，以三繩交點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，應(yīng)使結(jié)點(diǎn)小些，以便準(zhǔn)確地記錄結(jié)點(diǎn)O的位置。 �、剖褂脧椈沙忧�，應(yīng)先調(diào)節(jié)零刻度，使用時(shí)不超量程，拉彈簧秤時(shí)，應(yīng)使彈簧秤與木板平行。 �、窃谕淮螌�(shí)驗(yàn)中，橡皮條伸長(zhǎng)時(shí)的結(jié)點(diǎn)位置要相同。 �、缺粶y(cè)力的方向應(yīng)與彈簧測(cè)力計(jì)軸線方向一致，拉動(dòng)時(shí)彈簧不可與外殼相碰或摩擦。 ⑸讀數(shù)時(shí)應(yīng)正對(duì)、平視刻度。 �、蕛衫1和F2夾角不宜過(guò)小，作力的圖示，標(biāo)度要一致。 交流與思考：如何設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)探究?jī)闪狭﹄S角度的變化規(guī)律？如何觀察合力的變化規(guī)律？ 提示：保持兩力的大小不變，改變兩力之間的夾角，使兩力的合力發(fā)生變化，可以通過(guò)觀察結(jié)點(diǎn)的位置變化，判斷合力大小的變化情況，結(jié)點(diǎn)離固定點(diǎn)越遠(yuǎn)，說(shuō)明兩力的合力越大。 【正確使用彈簧秤】 �、艔椈沙拥倪x取方法是：將兩只彈簧秤調(diào)零后互鉤水平對(duì)拉，若兩只彈簧在對(duì)拉過(guò)程中，讀數(shù)相同，則可選；若讀數(shù)不同，應(yīng)另?yè)Q彈簧，直至相同為止。 �、茝椈沙硬荒茉诔鏊臏y(cè)量范圍的情況下使用。 ⑶使用前要檢查指針是否指在零刻度線上，否則應(yīng)校正零位（無(wú)法校正的要記錄下零誤差）。 �、缺粶y(cè)力的方向應(yīng)與彈簧秤軸線方向一致，拉動(dòng)時(shí)彈簧不可與外殼相碰或摩擦。 �、勺x數(shù)時(shí)應(yīng)正對(duì)、平視刻度。 【平行四邊形教案】相關(guān)文章： 《平行四邊形的面積》教案01-02 平行四邊形面積教案02-09 認(rèn)識(shí)平行四邊形教案03-05 平行四邊形教案優(yōu)秀03-27 平行四邊形的面積教案03-17 平行四邊形的認(rèn)識(shí)教案07-30 平行四邊形的面積教案07-24 平行四邊形面積的計(jì)算教案03-03平行四邊形教案 篇3